- 作者：Vicky Neale（牛津大學數學研究所和巴利奧爾學院研究員）、Lizzie Kimber（格羅斯泰特主教大學數學項目負責人）
編譯：泛科學編輯部（y編）
許多人會說自己沒有「數學腦」，但其實就算是數學家，也是用各式各樣不同的方式思考的。
思考數學的方法不止一種，沒有哪一種是「正確」的，這雖然可能會造成溝通上的障礙：例如如果你是用視覺圖像思考的人，就很難與用方程式思考的人溝通。但它同時也有好處，這表示當你在數學上卡關的時候，或許從另外一個角度來看世界就不一樣了。
以我們身邊隨處可見的橢圓形為例，光是思考它的方式就有很多種（哈哈想不到吧，bazinga！）。以下就介紹幾種不同的方法，來看看不同類型思考方式的數學家，會有哪些不一樣的視角吧。
橢圓形！source：Balint Földesi@Flickr
實際思考
我們能用一根棍子和一條繩子畫出一個圓，其邊上所有的點到中心的距離都是一樣的。同樣的思維，我們也可以利用棍子和繩子畫出橢圓，只是你需要多兩根棍子。
將兩根棍子插在地上，並將繩子綁在第三根棍子上然後拉緊並開始畫圈圈（不用到角落沒關係！），於是你就能得到一個橢圓！只要繩子拉得夠緊，棍子就會沿著橢圓移動，你可以感受到繩子的張力在引導其運動。
畫一個橢圓~
直接地畫出一個橢圓，是很實際可以手把手感受橢圓的方式（這是什麼繞口令）。
視覺思考
橢圓屬於曲線中的「圓錐曲線（conic sections）」，圓錐曲線指的是從不同角度切割空心圓錐所得到的曲線。
圓錐曲線有幾種類型：橢圓和圓是其中兩種（或者只能說是一種，廣義來說圓算是一種特殊類型的橢圓）（繞口令again），除此之外，拋物線和雙曲線也是他們的好夥伴。
圓錐曲線，從上到下分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線。wikipedia., CC BY-SA
利用視覺化的方式來思考圓形，我們可以把它視為一系列相關曲線中的一種：於是你可以先理解一般的圓錐曲線，然後再深入理解橢圓。
這雖然涉及到前期理解相關概念需要更多的時間投入，但是當擁有眾多而非只是用於單一曲線的理論時，你會發現眼前的世界不太一樣，其付出也終會有所回報的。
文字思考
不是每個人都會喜歡視覺思維，在思考幾何概念時也是如此。有些人會更喜歡用文字來思考數學，或是認為用文字傳達特定的概念是更方便的。唸數學本科的大學生可能會很驚訝，他們被期待在解答中看到的「文字」的數量比想像的多。
描述數學論證最好的方式通常是用流暢的句子講述連貫的故事，並在適當的位置插入方程式和圖表。
在這篇文章當中我們用了各種方式描述了橢圓形，這些描述都帶出了橢圓各式各樣不同的特徵。於是往下，我們想知道的是，如何才能確定這些描述都是在說同一種曲線，而不是各自表述？所以，我們會希望其描述能更精確一點。
橢圓的定義是：
對於橢圓上的每個點，從該點到兩個焦點（畫圖時的兩根棍子的位置）的距離之和是定值。
我們甚至可以說的更準確點：
橢圓是平面上圍繞兩個焦點的曲線，曲線上每個點到兩個焦點的距離之和是定值。
這種描述對於某些目的來說可能已經足夠了，但是人們還是會試圖在視覺上解釋它的含義，或者測試它以查看它與特定橢圓的關係或將其描述轉化為方程式。
代數思考
有些人喜歡將幾何問題轉化為代數。這可能會引導出不同類型的見解。喜歡在符號中思考的人可能會通過說PS + PS’= C（C為常數）來描述橢圓的概念。
人生很長，事情並沒有到此為止。在坐標系上以0為圓心半徑為1畫圓，其方程為x²+y²= 1。而橢圓的表示方式與此不同：因為大多數橢圓從中心到曲線的距離不是恆定的，它是在兩個數值之間變化（圖中的a和b）。
而a和b的長度決定著橢圓的大小以及它有多「橢圓」，並能以此寫出橢圓形的方程：（x / a）²+（y / b）²= 1。這個方程式和圓密切相關，我們可以透過拉伸一個圓來得到一個橢圓，而上述的橢圓方程式就是這麼來的。
對於探索幾何圖形來說，曲線方程式非常的好用。例如，要找到線與橢圓相交的點，我們透過可以記下兩者的方程式，求解以並找到其坐標系。
以自己的方式思考
找到自己的思考數學概念的方法絕對是關鍵，不論你是利用數手指，畫畫還是大聲喊出來而想通的。數學研究能取得進展，往往是因為有人找到了探索概念的新方法。
所有數學家都有自己喜歡的方法來思考數學問題。有些人本能地傾向於採用某種方法而不是另一種方法：這可能取決於習慣，或者因為曾經採用某種方法而成功，又或是實在與某種方法不對盤。
而也許最成功的數學家是能夠在方法與方法之間流暢切換的人。因為在面對任何的問題時，總是有一些策略比其他策略更好。
那你呢？你又如何思考數學的？
source：Tookapic
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